近期关于数列的10种通项公式的讨论热度持续攀升，我们通过多方渠道收集整理了相关资讯，并进行了系统化的梳理。若这些内容恰好能为您提供参考，将是我们最大的荣幸。
数列通项公式的几种求法
数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。
一、常规数列的通项
例1：求下列数列的通项公式
（1）2(22—1)，3(32—1)，4(42—1)，5(52—1)，…
（2）－1×2(1)，2×3(1)，－3×4(1)，4×5(1)，…
（3）3(2)，1，7(10)，9(17)，11(26)，…
解：（1）an=n(n2—1) （2）an= n（n+1）(（－1）n) （3） an=2n＋1(n2＋1)
评注：认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。
二、等差、等比数列的通项
直接利用通项公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。
三、摆动数列的通项
例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。
解：an=（－1）n－1
变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，…
故数列的通项公式为an=1+（－1）n
变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均乘以3(2)，数列相应变为2，0，2，0，…
故数列的通项公式为an=2(3)[1+（－1）n－1 ]
变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。
分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…
故数列的通项公式为an=1++2×3(2)[1+（－1）n－1 ]=1+3(4)[1+（－1）n－1 ]
分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…
故数列的通项公式为an=3+2（－1）n－1
四、循环数列的通项
例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。
解：an= 10n(1)
变式1：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。
解：an= 10n(5)
变式2：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。
分析与解答：此数列每一项分别与数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一项对应相加得到的项全部都是1，于是an=1－ 10n(1)
变式3：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。
解：an= 9(7)（1－ 10n(1)）
例4：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。
解：an=10n－1
变式1：求数列9，99，999，…的一个通项公式。
分析与解答：此数列每一项都加上1就得到数列10，100，1000，… 故an=10n－1。
变式2：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。
解：an= 9(4)（10n－1）
评注：平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需要提高课堂教与学的效率，多加总结、反思，注意联想与对比分析，做到触类旁通，也就无需再害怕复杂数列的通项公式了。
五、通过等差、等比数列求和来求通项
例5：求下列数列的通项公式
（1）0.7，0.77，0.777，… （2）3，33，333，3333，…
（3）12，1212，121212，… （4）1，1+2，1+2+3，…
解：（1）an==7×=7×（0.1+0.01+0.001+…+）
=7×（10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1)）==9(7)（1－10n(1)）
（2）an==3×=3×（1+10+100+…+10n）=3×1－10(1－10n)=3(1)（10n－1）
（3）an==12×（1+100+10000+…+100n－1）=12×1－100(1－100n)=33(4)（102n－1）
（4）an=1+2+3+…n=2(n（n+1）)
评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n项的数据特点。
六、用累加法求an=an－1+f（n）型通项
例6：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。
（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。
解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2= an－an－1
则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1
=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)
（2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，记f（n）=2n(1)= an－an－1
则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)
评注：当f（n）=d（d为常数）时，数列{an}就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。
七、用累积法求an= f（n）an－1型通项
例7:（1）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an
（2）数列{an}满足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an
解：（1）由条件 an—1(an)=n(2（n－1）)，记f（n）=n(2（n－1）)
an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1
=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1)
（2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－ 2(n（n＋1）)
评注：如果f（n）=q（q为常数），则{an}为等比数列，an= f（n）an—1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。
八、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项
例8:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。
解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－3(1)
∴ an－3(1)=－2（an－1－3(1)）
故{ an－3(1) }是公比q为－2，首项为an－3(1)=3(2)的等比数列
∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n)
评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有
（A－1）x=B知x=A－1(B)，从而an＋A－1(B)=A（an－1+A－1(B)），于是数列{an＋A－1(B)}是首项为a1+A－1(B)、公比为A的等比数列，故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1，从而
an=（a1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。
推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。
例9：数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋3n(1)（n≥2），求an。
解：令an＋x·3n(1)=2（an＋x·3n-1(1)）则an=2an－1+ 2x·3n-1(1)－x·3n(1)=3(5)x·3n-1(1)=5x·3n(1)
而由已知an=2an－1＋3n(1)故5x=1，则x=5(1)。故an＋5(1)·3n(1)＝2（an－1＋5(1)·3n-1(1)）
从而{an＋5(1)·3n(1)}是公比为q=2、首项为a1＋5(1)·3(1)=15(16)的等比数列。
于是an＋5(1)·3n(1)=15(16)×2n－1，则an=15(16)×2n－1－5(1)·3n(1)=15(1)（2n+3－3n－1(1)）
评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，则有Ag（n－1）－g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系。特别地，当f（n）=B（B为常数）时，就是前面叙述的例8型。
这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？
我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到
an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题：
数列{an}满足a1=1且an=2n(n)an－1+n+1(1)，求其通项公式。
在这种做法下得到2n(n)k（n－1）－k（n）=n+1(1)，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k（n）来。
九、通过Sn求an
例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。
解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=4(3)。由于an =5Sn－3………①
则 an-1 =5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an
故an=－4(1)an-1，则{an}是公比为q=－4(1)、首项an=4(3)的等比数列，则an=4(3)（－4(1)）n-1
评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式
十、取倒数转化为等差数列
例11：已知数列{an}满足a1=1且a
n+1=
an+2(2an)，求an。
解：由a
n+1=
an+2(2an)有 an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1) 即an+1(1)－an(1)=2(1)
所以，数列{an(1)}是首项为a1(1)=1、公差为d=2(1)的等差数列
则an(1)=1+（n－1）2(1)=2(n+1) 从而an=n+1(2)
评注：注意观察和分析题目条件的结构特点，对所给的递推关系式进行变形，使与所求数列相关的数列（本例中数列{an(1)}）是等差或等比数列后，只需解方程就能求出通项公式了。
十一、构造函数模型转化为等比数列
例12：已知数列{an}满足a1=3且a
n+1=
（an－1）2+1，求an。
解：由条件a
n+1=
（an－1）2+1得a
n+1－1=
（an－1）2
两边取对数有lg（a
n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1） 即
故数列{ lg（an－1）}是首项为lg（a1－1）=lg2、公比为2的等比数列
所以，lg（an－1）=lg2·2n－1=lg
则an－1= 即an=+1
评注：通过构造对数函数达到降次的目的，使原来的递推关系转化为等比数列进行求。
十二、数学归纳法
例13：数列{an}满足a1=4且a
n=4－
an－1(4)（n≥2），求an。
解：通过递推关系求出数列前几项如下
a1=4=2+1(2) a2=4－
a1(4)=3=2+2(2) a3=4－
a2(4)=3(8)=2+3(2)
a4=4－
a3(4)=2(5)=2+4(2) a5=4－
a4(4)=5(12)=2+5(2) a6=4－
a5(4)=3(7)=2+6(2)
猜想：通项公式为an=2+n(2)。下用归纳法给出证明
显然，当n=1时，a1=4=2+1(2)，等式成立
假设当n=k时，等式成立，即ak=2+k(2)
则当n=k+1时，a
k+1=4－
ak(4)=4－
k(2)) k(2)=4－k+1(2k)=2+2－k+1(2k)=2+k+1(2)
由归纳法原理知，对一切n∈N+都有an=2+n(2)。
评注：先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。
十三、综合应用
例14：已知各项为正的数列{a<br>n}满足a1=1且a
n2=a
n－12+2（n≥2），求an。
解：由a
n2=a
n－12+2知a
n2－a
n－12=2
则数列{a<br>n2}是公差为2、首项为a
12=1的等差数列。
故 a
n2=1+2（n－1）=2n－1 即an=
例15：数列{a<br>n}满足a1=a2=5且a
n+1=a
n+6a
n－1（n≥2），求an。
解：设a
n+1+λa
n=μ（a
n+λa
n－1），则a
n+1=（μ－λ）a
n+μλa
n－1
而a
n+1=a
n+6a
n－1 则 解得或
当λ=2且μ=3时a
n+1+2a
n=3（a
n+2a
n－1），即
n+1+2a
n, a
n+2a
n－1) =3
则数列{a<br>n+2a<br>n－1}是公比为3、首项为a
2+2a
1=15的等比数列。
于是，a
n+2a
n－1=15×3n－1=5×3n 则a
n=－2a
n－1+5×3n
令a
n+x·3n =－2（a
n－1+x·3n－1 ） 则a
n=－2a
n－1－x·3n 故x=－1
于是，a
n－3n =－2（a
n－1－3n－1 ）
从而{a<br>n－3n }是公比为－2、首项为a
1－3=2的等比数列。
所以，a
n－3n =2×（－2）n－1 则a
n=3n+2×（－2）n－1=3n－（－2）n
当λ=－3且μ=－2时，同理可求得a
n=3n－（－2）n
于是，数列{a<br>n}的通项公式为a
n=3n－（－2）n
小结：本文只是介绍了几种常见的求数列通项公式的方法，可以看到，求数列（特别是以递推关系式给出的数列）通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能、基本思想与方法有很大关系，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识、、基本方法、基本技能和基本思想的学习，又要注意培养和提高数学素质与能力和创新精神。这就要求无论教师还是学生都必须提高课堂的教与学的效率，注意多加总结和反思，注意联想和对比分析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题进行横向的拓宽与纵向的深入，通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命题。这样无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有利于形成和发展创新的思维。
等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。
前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2[2]。注意： 以上整数。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
通项公式推导：
a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d……an-a(n-1)=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)*d→an=a1+(n-1)*d。
前n项和公式为：Sn=a1*n+/2
Sn=/2
Sn=d/2*n?+（a1-d/2）＊n
注：以上n均属于正整数。
等差数列公式包括：求和、通项、项数、公差．.....等。
百度百科—等差数列公式
导语：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。
高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d?0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn=
当d?0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1?0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an?0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q?1时，Sn=
Sn=
高中数学数列知识点总结二:高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、?仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、?仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an
bn}、
、
仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
11、{an}为等差数列，则
(c>0)是等比数列。 12、{bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn} (c>0且c
1) 是等差数列。 13. 在等差数列
中： (1)若项数为
，则
(2)若数为
则，
，
14. 在等比数列
中： (1) 若项数为
，则
(2)若数为
则，
高中数学数列求和的基本方法和技巧1.公式法数列求和：
①等差数列求和公式;
②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.;
③常用公式：
，
，
.如 (1)等比数列
的前
项和Sn=2n-1，则
=_____ (答：
); (2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即?逢2进1?，如
表示二进制数，将它转换成十进制形式是
，那么将二进制
转换成十进制数是_______ (答：
) 2.分组数列求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将?和式?中?同类项?先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：
(答：
) 3.倒序相加法求数列和：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前
和公式的推导方法). 如 ①求证：
; ②已知
，则
=______ (答：
) 4.错位相减法求数列和：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前
和公式的推导方法). 如(1)设
为等比数列，
，已知
，
，①求数列
的首项和公比;②求数列
的通项公式.(答：①
，
;②
); (2)设函数
，数列
满足：
，①求证：数列
是等比数列;②令
，求函数
在点
处的导数
，并比较
与
的大小。(答：①略;②
，当
时，
=
;当
时，
<
;当
时，
>
)
5.数列求和的裂项相消法：如果数列的通项可?分裂成两项差?的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
; ②
; ③
，
; ④
;⑤
; ⑥
. 如(1)求和：
(答：
); (2)在数列
中，
，且Sn=9，则n=_____
(答：99);
6.通项转换法求数列和：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如
①求数列1?4，2?5，3?6，?，
，?前
项和
= (答：
); ②求和：
(答：
)
高中数学求数列通项公式常用以下几种方法：一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，?5<2k-10<8 ?k=8 选 (B)
此类题在解时要注意考虑n=1的'情况。
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，?{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，?-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，?an+1+an ?0，?-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，?，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：? -=-，
又∵a1=1，?an=-(n2)，∵n=1也成立，?an=-(n?N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1=2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,?
(1)求{an}通项公式 (2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)
?{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n?N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1?(0,1)，an=-，n=2，3，4?(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,?，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1?0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
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